Hukum Maxwell: Bentuk Differensial

Masih inget Hukum Maxwell? Yang ada 4 itu lho, bisa lihat di sini.

Selain menggunakan notasi cacing-cacing integral yang ribet,, ternyata ada lagi cara penulisan lainnya, yaitu dalam bentuk differensial. Kenapa harus ada bentuk diferensial ini? Perlu diketahui bahwa tujuan kita menyelesaikan Persamaan Maxwell adalah untuk mencari nilai E dan B. Untuk kondisi tertentu, misalnya bentuk benda tidak simetris, menyelesaikan persamaan Maxwell dalam bentuk integral akan sulit. Akan lebih mudah menggunakan bentuk diferensial.

Sebelum membahas Persamaan Maxwellnya, ada baiknya kita “kenalan” dulu dengan operasi-operasi yang berhubungan dengan diferensial. Siapa saja mereka?

Operasi Gradient

Misalkan kita punya fungsi skalar \phi \left ( x,y,z \right ), gradien didefinisikan sebagai:

\nabla \phi =\cfrac{\partial \phi}{\partial x}\mathbf{a_{x}}+\cfrac{\partial \phi}{\partial y}\mathbf{a_{y}}+\cfrac{\partial \phi}{\partial z}\mathbf{a_{z}}

Note: \nabla dibaca “del” atau “nabla”. Bisa kita lihat bahwa gradien mengubah skalar menjadi vektor. Gambaran lebih jelasnya barangkali bisa dilihat di sini.

Jadi, misalkan fungsi skalar \phi membentuk suatu permukaan, maka \nabla \phi merupakan vektor yang tegak lurus permukaan tersebut. Besar dari vektor tersebut merupakan laju perubahan maksimum dari \phi .

Divergensi

Divergensi dari suatu vektor F menyatakan jumlah fluks yang keluar dari suatu titik, kira-kira seperti ini.

Kalau nilainya positif, berarti lebih banyak fluks yang masuk, dan sebaliknya. Kalau nol berarti impas,, pendapatan = pengeluaran :D

Secara matematis, operasi divergensi ditulis sebagai berikut.

\nabla\cdot\mathbf{F} =\cfrac{\partial {F_{x}}}{\partial x} +\cfrac{\partial {F_{y}}}{\partial y} +\cfrac{\partial {F_{z}}}{\partial z}

Kalau diperhatikan,  divergensi merupakan dot product dari vektor F dan vektor del atau nabla, yaitu \nabla ={\cfrac{\partial }{\partial x}}\: \mathbf{{a_{x}}} +{\cfrac{\partial }{\partial y}}\: \mathbf{{a_{y}}} +{\cfrac{\partial }{\partial z}}\: \mathbf{{a_{z}}} . Artinya, operasi divergensi menghasilkan suatu skalar.

Curl

Curl itu kira-kira bahasa Indonesianya keriting atau muter-muter gitu. Emang sih pas menyelesaikan operasi ini terkadang bisa membuat rambut dan otak tambah keriting :lol:, tapi maksudanya muter-muter di sini adalah curl itu menunjukkan kecenderungan rotasi dari suatu vektor.

Bingung? Refreshing dulu yuk sebentar, misalnya jalan-jalan sambil melihat aliran air sungai yang jernih. Coba iseng-iseng jatuhin bola pingpong ke sungai. Plung! Apa yang terjadi? Bolanya hanyut mengikuti aliran sungai *ya iya lah* Tapi kalau diamati lebih lanjut, kadang-kadang si bola terlihat berputar-putar yang penyebabnya adalah kecepatan aliran air yang berbeda-beda di setiap tempat atau tidak homogen. NB : kecepatan itu vektor lo,, jadi dari contoh ini kita dapat melihat bahwa vektor itu dapat menyebabkan perputaran akibat ketidakhomogenan. Nah,, operasi curl itu sebenarnya mau menunjukkan hal ini.

Rumus curl dari vektor F adalah *hasilnya vektor juga*:

\bigtriangledown \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{a_{x}} & \mathbf{a_{y}} & \mathbf{a_{z}} \\ \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{a_{x}} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{a_{y}} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{a_{z}}

Pertanyaan selanjutny adalah : bagaimana mengubah Persamaan Maxwell ke bentuk diferensial? Kita dapat menggunakan Teorema Divergensi (yang atas) dan Teorema Stokes (yang bawah)  sebagai berikut.

\oint_{s}^{ } \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s} = \int_{v}^{ } \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} dv

\oint_{l}^{ } \mathbf{F} \cdot d \mathbf{l} = \int_{s}^{ } \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} d \mathbf{s}

Sekarang, kita sudah siap mengubah Persamaan Maxwell ke bentuk diferensial. Pertama dari hukum Gauss, ingat bahwa jumlah muatan Q merupakan hasil integrasi dari rapat muatan yang berada dalam volume v, atau Q=\int_{v}^{ } \rho_{v} dv, sehingga:

\oint_{s}^{ } \varepsilon _{o}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}=\int_{v}^{ } \rho_{v} dv

Bnetuknya mirip dengan Teorema Divergensi dengan Fε0 E , jadi bisa kita tulis:

\nabla \cdot \varepsilon _{o}\mathbf{E} =\rho_{v}

Dengan menggunakan cara yang mirip-mirip, didapatkan hasilnya adalah sebagai berikut.

\nabla\cdot \varepsilon _{o}\mathbf{E} =\rho_{v}

\nabla \cdot \mathbf{B} =0

\nabla \times \mathbf{E} =-\cfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

\nabla \times \cfrac{\mathbf{B}}{\mu_{0}} =\mathbf{J} + \cfrac{\partial \varepsilon _{o} \mathbf{E}}{\partial t}

Selesailah pekerjaan kita menghilangkan tanda cacing-cacing integral :D

Referensi : Buku Iskander, wikipedia, solitaryroad.com (fig. 1)
About these ads

One response to “Hukum Maxwell: Bentuk Differensial

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s