Notasi Einstein

Masih ingat bagaimana cara menuliskan suatu vektor? Tinggal pakai sebuah huruf, lalu dicetak tebal, misalnya E, H, B, r, dan lain sebagainya. Einstein memperkenalkan suatu cara baru untuk menuliskan vektor, atau secara umum cara menuliskan tensor. Caranya adalah menggunakan subscript. Bagaimana bisa?

Suatu vektor terdiri atas beberapa komponen, misalnya seperti vektor A berikut ini.

\mathbf{A}=\begin{bmatrix} A_{1}\\ A_{2}\\ A_{3} \end{bmatrix}

Vektor A terdiri atas komponen Ai, dengan i = 1,2,3, dan seterusnya jika vektor A terdiri atas lebih dari 3 komponen. Dalam notasi ini, vektor A cukup ditulis dengan Ai saja.

Penjumlahan Vektor

Bagaimana cara menuliskan penjumlahan vektor dalam notasi Einstein? Misalkan ada vektor B (atau Bi, maka penjumlahan vektor A dan B dapat ditulis sebagai:

\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=\begin{bmatrix} A_{1}\\ A_{2}\\ A_{3} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} B_{1}\\ B_{2}\\ B_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_{1}+B_{1}\\ A_{2}+B_{2}\\ A_{3}+B_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C_{1}\\ C_{2}\\ C_{3} \end{bmatrix}

Dapat dilihat bahwa komponen ke-i dari C adalah : CiAi + Bi

Dot Product

Dot product atau perkalian titik adalah perkalian antara dua buah vektor yang menghasilkan suatu skalar, dirumuskan oleh:

C=\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3=\sum_{i=1}^{3}\left ( A_iB_i \right )

Om Einstein menyederhanakan bentuk ini, caranya gampang. Tanda \sum_{i=1}^{3} dihilangkan, jadinya tinggal:

C = A_iB_i

Meskipun tanda Σ dihilangkan, harus diingat bahwa ada operasi penjumlahan pada notasi ini. Ini namanya Einstein Summation Convention.

Cross Product

Cross product atau perkalian silang adalah suatu perkalian antara dua buah vektor yang menghasilkan vektor juga, yaitu:

Dan ternyata, entah darimana, hasil perkalian ini dapat dinyatakan oleh:

C_k=\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \varepsilon _{kij}A_iB_j,\: k=1,2,3

Dan lagi-lagi Om Einstein menghilangkan tanda sigma “Σ” jadinya (perhatikan notasi subscriptnya):

C_k= \varepsilon _{kij}A_iB_j

Note: εkij adalah tensor Levi-Civita. Sama seperti pada dot product, perlu diingat ada dua buah “Σ” di sini. Dan harus hati-hati juga, hasil perkalian di sini adalah vektor dengan k buah komponen.

Turunan Parsial

Dalam notasi vektor:

\cfrac{\partial \mathbf{A} }{\partial t}

Bisa diubah menjadi:

\partial_tA_i

Simpel ya?

Divergensi

Yang ini mirip-mirip dot product.

Curl

Kalau divergensi mirip dengan dot product, curl mirip dengan cross product.

Jadi, bisa diubah menjadi :

\triangledown \times \mathbf{B} = \varepsilon _{kij}\partial_{i} B_{j}

Ada yang mau menambahkan?

Sumber: kuliah elmag.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s