Koefisien Binomial dan Transformasi Fourier

Iseng-iseng lagi pingin nulis artikel tentang matematikašŸ˜€

Pernah dengan koefisien binomial? Koefisien binomial ini merupakan koefisien yang memenuhi aturan segitiga pascal seperti berikut. Perhatikan angka-angka di segitiga tersebut, angka-angka itu merupakan penjumlahan dari dua angka di kanan dan kiri atasnya, misalnya 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 4 = 1 + 3; dst.

Menariknya, angka ini memenuhi koefisien-koefisien dari penjabaran polinomial berikut.

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^{n-k}y^k Ā  …(1)

Note: \binom nk merupakan koefisien binomial. Nggak percaya? Baiklah. Lihat ini.

(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}

(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}

Perhatikan koefisiennya. 1 2 1 dan 1 3 3 1, bandingkan dengan segitiga pascalnya! Percaya kan?

Hubungannya dengan transformasi Fourier? Ternyata ada hubungannya, yaitu ketika koefisien binomial ini dipergunakan dalam susunan atau array antena, yaitu sebagai distribusi arus yang dialirkan ke masing-masing elemen dari susunan. Ternyata oh ternyata,, susunan antena ini sebenarnya berfungsi sebagai filter. Jika filter biasa melewatkan sinyal dengan frekuensi tertentu dan membuang sinyal lainnya, maka susunan antena ini merambatkan atau menerima sinyal ke/dari arah tertentu dan mencegah sinyal merambat ke arah lain/ memblok sinyal yang datang dari arah lain. Karena berhubungan dengan dimensi ruang, filter ini disebut filter spasial.

Yang namanya filter, pasti memiliki respon frekuensi tertentu, yang memberikan informasi sifat dari filter, pada frekuensi berapa saja filter dapat melewatkan sinyal, pada frekuensi berapa saja filter memblok sinyal. Hal yang sama juga dimiliki oleh susunan antena, pada arah mana saja antena dapat merambatkan/menerima sinyal, dan para arah mana saja antena memblok sinyal yang datang. Karakteristik ini disebut pola radiasi (untuk antena pemancar) ataupun pola array (antena penerima) yang dapat dicari dengan melakukan transformasi Fourier dari distribusi arusnya.

Back to topic, bagaimana transformasi Fourier dari koefisien binomial?

Pertama-tama, lihat persamaan (1), ganti x dengan angka 1:

(1+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk y^k Ā  …(2)

Masih ingat rumus transformasi Fourier (yang waktu diskrit tentunya):

W(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} w[n] \,e^{-i \omega n}

Atau untuk filter spasial, ganti \omega denganĀ  K:

W(K) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} w[n] \,e^{-i K n}

Untuk jumlah elemen array dari n = 0 sampai M – 1 (M = jumlah array), maka:

W(K) = \sum_{n=0}^{M-1} w[n] \,e^{-i Kn}Ā  …(3)

Bandingkan persamaan (3) dengan persamaan (2), mirip bukan? Ganti w[n] pada persamaan (3) dengan koefisien binomial \binom nk atau \binom {M-1}nĀ  dalam kasus kita dan y pada persamaan (2) dengan e-iK sehingga persamaan (3) menjadi:

W(K) = \sum_{n=0}^{M-1} \binom {M-1}n \,e^{-i Kn} = (1 + e^{-i K})^{M-1}Ā  …(4)

Apabila persamaan (4) dijabarkan lagi, maka akan diperoleh:

… (5)

Itulah hasil transformasi Fouriernya, kalau digambarkan dalam bentuk koordinat polar untuk K = [-1800,1800], maka akan diperoleh pola radiasi, dan pola radiasi ini akan mengarah ke sebuah arah tertentu, tidak ada yang mengarah ke arah lain. Pola radiasi yang seperti ini tidak dapat diperoleh untuk penggunaan koefisien selain binomial. Inilah ajaibnya penggunaan koefisien binomial dalam perancangan antena. Kira-kira orang yang pertama kali menerapkan koefisien binomial ini dapat ide dari mana ya?

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s