Pecahan Dalam Pecahan

Source: knowyourmeme.com

Pecahan yang saya maksud seperti ini:

a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}}

Kalau rumus-rumus yang panjang biasanya melebar ke kanan, yang ini malah melebar ke bawah😀 Agar lebih singkat pecahan dalam pecahan ini juga dapat dituliskan seperti ini :  [a0; a1, a2, a3, …]

Penting ya? Mungkin saja. Terkadang bentuk pecahan seperti ini sering ditemukan dalam berbagai persoalan. Misalnya saja dalam rangkaian listrik bentuk “ladder” seperti ini:

Dengan menggunakan konsep rangkaian seri dan paralel, impedansi Z dapat dihitung sebagai berikut.

Z = sg_{1}+\cfrac{1}{sg_{2}+\cfrac{1}{sg_{3}+ ...}}

Yup, kita bertemu dengan “pecahan dalam pecahan”. Yang membuat rumit adalah kalau komponen rangkaiannya semakin banyak, tentu rumusnya akan semakin memanjang ke bawah. Kebetulan saya membaca sebuah paper beberapa hari yang lalu, dan tiba-tiba menemukan bentuk “pecahan dalam pecahan” dan ternyata ada beberapa istilah-istilah aneh yang belum pernah saya dengar sebelumnya.

Untung ada Wikipedia, dan ternyata ada beberapa hal yang menarik berkaitan dengan “pecahan dalam pecahan” ini.

1. Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dalah pecahan. Misalnya:

\frac{9}{7} = 1+\cfrac{1}{\cfrac{7}{2}}=1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{2}} = \begin{bmatrix}  1;3,2  \end{bmatrix}

Yang menarik adalah bilangan irasional juga dapat dinyatakan dalam bentuk seperti ini, bahkan untuk bilangan golden ratio misalnya, yaitu φ = 1,618033… = [1;1,1,1,…], ternyata dapat diubah dari bentuk yang tidak beraturan dalam representasi pecahan desimal menjadi deretan angka 1 yang sangat panjang!!

2. Berapa hasil akhir dari pecahan dalam pecahan untuk suku ke-n? Kalau dilihat dari polanya:

Suku ke-0 : \cfrac{a_0}{1}

Suku ke-1 : \cfrac{a_1a_0 + 1}{a_1}

Suku ke-2 : \cfrac{ a_2(a_1a_0+1)+a_0}{a_2a_1+1}

Suku ke-3 : \cfrac{a_3(a_2(a_1a_0+1)+a_0)+(a_1a_0+1)}{a_3(a_2a_1+1)+a_1}

Maka, suku ke-n adalah : \cfrac{h_n}{k_n}= \cfrac{a_nh_{n-1}+h_{n-2}}{a_nk_{n-1}+k_{n-2}}

dengan hn adalah pembilang dari suku ke-n, sementara kn merupakan penyebutnya.

3. Variabel kn dan hn dapat disebut sebagai “continuant” dan ajaibnya dapat diubah ke dalam bentuk matriks! Definisi continuant K(n) secara umum adalah:

K(n) = a_n K(n-1) - b_{n-1}c_{n-1} K(n-2),

dengan K(0) = 1; K(1) = a1. bn dan cn adalah deretan lain yang berkaitan dengan deretan an. Dalam kasus kita, anggap saja bn merupakan deretan angka 1 dan cn meruapakan deretan -1. Dengan demikian, bentuk continuant ini jadi mirip dengan hn dan kn (no.2). Bentuk hn/kn dapat dirubah menjadi:

\cfrac{h_n}{k_n} = \cfrac{K(n+1,[a_0;\ldots,a_n])}{K(n,[a_1;\ldots,a_n])}

Dan ternyata … bentuk K(n,[a1;…,an])  merupakan determinan dari matriks:

\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ c_1 & a_2 & b_2 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & c_2 & a_3 & b_3 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & c_{n-1} & a_n \end{pmatrix}

Pada contoh kita misalnya, untuk 9/7 = [1;3,2]. Dengan b = 1 dan c = -1, maka:

h_n = K(3,[1;3,2]) = \begin{vmatrix}  1 & 1 & 0\\  -1& 3 & 1\\  0 & -1 & 2  \end{vmatrix} = 6 + 0 + 0 -0 +2 + 1 = 9

dan …

k_{n} = K (2,[3;2]) = \begin{vmatrix}  3 & 1\\  -1& 2  \end{vmatrix} = 6+1 = 7

sehingga …

\cfrac{h_n}{k_n} = \cfrac {9}{7}

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s