Dekomposisi Eigen Sebuah Matriks

Topik kali ini sedikit bermain-main dengan matematika😀

Misalkan ada sebuah matriks M, berukuran N x N:

\mathbf{M} = \begin{bmatrix}  M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1N}\\  M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2N}\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  M_{N1} & M_{N2} & \cdots & M_{NN}  \end{bmatrix}

Matriks M sendiri ternyata dapat diuraikan menjadi bentuk berikut:

\mathbf{M} = \mathbf{T} \mathbf{\Lambda} \mathbf{T^{-1}}

Dengan:

\mathbf{\Lambda} = \begin{bmatrix}  \lambda _{1} & 0 & ... & 0\\  0 & \lambda _{2} & ... & 0\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  0 & 0 & 0 & \lambda _{N}  \end{bmatrix}

Di mana λi, i = 1,2,… N merupakan nilai eigen* dari matriks M. Matriks T merupakan matriks yang tiap kolomnya berisi vektor eigen dari matriks M.

Bukti:

Misalkan:

M = TDT-1 di mana D merupakan matriks yang diagonal, dengan diagonal d1, d2, …, dN

Maka:

\mathbf{M}\mathbf{T} = \mathbf{T} \mathbf{D}
\begin{bmatrix}  M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1N}\\  M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2N}\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  M_{N1} & M_{N2} & \cdots & M_{NN}  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  T_{11} & T_{12} & \cdots & T_{1N}\\  T_{21} & T_{22} & \cdots & T_{2N}\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  T_{N1} & T_{N2} & \cdots & T_{NN}  \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}  T_{11} & T_{12} & \cdots & T_{1N}\\  T_{21} & T_{22} & \cdots & T_{2N}\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  T_{N1} & T_{N2} & \cdots & T_{NN}  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  d _{1} & 0 & ... & 0\\  0 & d _{2} & ... & 0\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  0 & 0 & 0 & d _{N}  \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}  \sum_{i=1}^{N}M_{1i}T_{i1} & \sum_{i=1}^{N}M_{1i}T_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^{N}M_{1i}T_{iN}\\  \sum_{i=1}^{N}M_{2i}T_{i1} & \sum_{i=1}^{N}M_{2i}T_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^{N}M_{2i}T_{iN}\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  \sum_{i=1}^{N}M_{Ni}T_{i1} & \sum_{i=1}^{N}M_{Ni}T_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^{N}M_{Ni}T_{iN}  \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}  d _{1}T_{11} & d _{2}T_{12} & \cdots & d _{N}T_{1N}\\  d _{1}T_{21} & d _{2}T_{22} & \cdots & d _{N}T_{2N}\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  d _{1}T_{N1} & d _{2}T_{N2} & \cdots & d _{N}T_{NN}  \end{bmatrix}

Dengan menyamakan kolom pertama pada ruas kiri dan kanan:

\begin{bmatrix}  M_{11}T_{11}+M_{12}T_{21}+...+M_{1N}T_{N1}  \\  M_{21}T_{11}+M_{22}T_{21}+...+M_{2N}T_{N1}  \\ ...\\  M_{N1}T_{11}+M_{N2}T_{21}+...+M_{NN}T_{N1}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  d _{1}T_{11}\\ d _{1}T_{21}  \\ ...\\  d _{1}T_{N1}  \end{bmatrix}

\mathbf{M} \begin{bmatrix}  T_{11}\\  T_{21}\\  ...\\  T_{N1}  \end{bmatrix} = d_{1} \begin{bmatrix}  T_{11}\\  T_{21}\\  ...\\  T_{N1}  \end{bmatrix}

Jika dibandingkan dengan rumus untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen*, sebenarnya di merupakan nilai eigen matriks M dan vektor Ti1, yang merupakan kolom pertama dari matriks T, merupakan vektor eigen yang berkaitan.

Lakukan hal yang sama untuk kolom-kolom lainnya, sehingga didapatkan D merupakan matriks diagonal yang diagonalnya merupakan nilai eigen matriks M dan kolom matriks T merupakan vektor eigen yang berkaitan.

*Keterangan:
Misalkan ada vektor x dan sebuah skalar λ yang memenuhi persamaan berikut:

\mathbf{M}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}

λ kita sebut nilai eigen (baca: aigen, bahasa Jerman yang artinya sendiri), dan x kita sebut vektor eigen. Nilai eigen dan vektor eigen ini bisa jadi ada beberapa buah.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s