Tentang Rotasi Koordinat

Misalkan ada persamaan:

\mathbf{A'} = B'\mathbf{C'}

di mana A’ dan C’ adalah vektor kolom dan B’ adalah matriks atau bahasa kerennya tensor 2 dimensi. Namun sayangnya, sistem koordinat yang dipakai bukanlah koordinat kartesian xyz pada umumnya, melainkan x’y’z’, misalnya seperti pada gambar di bawah ini.

Sistem Koordinat

Sistem koordinat xyz dan x’y’z

Terlihat bahwa sistem koordinat x’y’z’ merupakan sistem xyz “biasa”, namun diputar dengan sudut Φ dan θ. Dapatkah kita mengubah persamaan tersebut dalam koordinat xyz? Kalau vektor A’ dan C’ nampaknya dapat diubah dengan mengalikan vektor tersebut dengan matriks rotasi, namun bagaimana dengan B’?

Terkait dengan mengubah koordinat, vektor A’ dapat ditulis menjadi:

\mathbf{A'} = T\mathbf{A}

Artinya vektor A dalam koordinat xyz diubah menjadi A’ dalam koordinat x’y’z’. Demikian pula vektor C, dapat diubah dengan cara yang sama. Matriks T terkait dengan rotasi koordinat ini. Pertanyaannya, seperti apakah matriks T?

Kalau untuk 2 dimensi, dapat kita lihat gambar berikut.

Rotasi sistem koordinat 2 dimensi. Perhatikan bahwa x0 = r cos α dan y0 = r sin α.

Koordinat baru dapat dicari dengan:

x_{0}'=r \cos\left ( \alpha-\theta \right )=r\cos \alpha \cos \theta + r\sin \alpha \sin \theta = x_{0} \cos \theta + y_{0} \sin \theta
y_{0}'=r \sin\left ( \alpha-\theta \right )=r\sin \alpha \cos \theta - r\cos\alpha \sin \theta = - x_{0} \sin \theta + y_{0} \cos \theta

Sehingga:

\begin{bmatrix}  x_{0}'\\  y_{0}'  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \cos \theta & \sin\theta\\  -\sin\theta & \cos \theta  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x_0\\y_0\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}  x_0\\y_0\end{bmatrix}

Nah, hasil ini dapat dimanfaatkan untuk koordinat 3 dimensi. Misalkan kita putar sumbu-x dengan sudut θ seperti pada gambar:

Rotasi koordinat 3 dimensi: sumbu x sebagai sumbu rotasi diputar dengan sudut θ. Sumbu y dan z akan terputar juga sejauh θ. Koordinat baru untuk y dan z dapat dicari dengan menggunakan rumus untuk 2 dimensi (lihat gambar sebelumnya!), sementara koordinat x tidak berubah.

Maka:

\begin{bmatrix}  y_{0}'\\  z_{0}'  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \cos \theta & \sin\theta\\  -\sin\theta & \cos \theta  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  y_0\\z_0\end{bmatrix}

Sehingga:

\begin{bmatrix}  x_{0}'\\  y_{0}'\\  z_{0}'  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&0&0\\  0&\cos \theta & \sin\theta\\  0&-\sin\theta & \cos \theta  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}=T_x\begin{bmatrix}  x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}

Untuk sumbu-y dan z:

T_{y}=\begin{bmatrix}  \cos \theta &0&-\sin\theta\\  0&1 & 0\\  \sin\theta&0 & \cos \theta  \end{bmatrix}

T_{z}=\begin{bmatrix}  \cos \theta & \sin\theta & 0\\  -\sin\theta & \cos \theta & 0\\  0 & 0 & 1  \end{bmatrix}

Bagaimana untuk rotasi koordinat seperti yang ditunjukkan oleh gambar pertama? Kalau lihat gambar ini …

Dua kali rotasi koordinat: xyz ke x*y*z*, lalu ke x’y’z’

Dapat disimpulkan bahwa rotasi ini didapatkan dari:

  1. Memutar sumbu-z sejauh Φ. Sumbu-z tetap, namun sumbu-x dan y akan tergeser dengan sudut Φ. Lihat sistem koordinat biru x*y*z*
  2. Memutar sumbu-y* sejauh θ. Didapatkanlah sistem koordinat merah x’y’z’

Jadi, kalau misalnya ada koordinat (x0, y0, z0) ataupun vektor A = [x0    y0    z0]T, maka:

\begin{bmatrix}  x_{0}*\\  y_{0}*\\  z_{0}*  \end{bmatrix}=T_{z}\left ( \phi  \right )\begin{bmatrix}  x_{0}\\  y_{0}\\  z_{0}  \end{bmatrix}

Dan

\begin{bmatrix}  x_{0}'\\  y_{0}'\\  z_{0}'  \end{bmatrix}=T_{y}\left ( \theta \right )\begin{bmatrix}  x_{0}*\\  y_{0}*\\  z_{0}*  \end{bmatrix}=T_{y}\left ( \theta \right )T_{z}\left ( \phi\right )\begin{bmatrix}  x_{0}\\  y_{0}\\  z_{0}  \end{bmatrix}  =T\begin{bmatrix}  x_{0}\\  y_{0}\\  z_{0}  \end{bmatrix}

dengan:

T=T_{y}\left ( \theta \right )T_{z}\left ( \phi\right )=\begin{bmatrix}  \cos \theta &0&-\sin\theta\\  0&1 & 0\\  \sin\theta&0 & \cos \theta  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \cos \phi& \sin\phi& 0\\  -\sin\phi& \cos \phi& 0\\  0 & 0 & 1  \end{bmatrix}

T=\begin{bmatrix}  \cos\theta\cos\phi &\cos\theta\sin\phi  &-\sin\theta \\  -\sin\phi&\cos\phi  &0 \\  \sin\theta\cos\phi& \sin\theta\sin\phi & \cos\theta  \end{bmatrix}

Nah, sekarang kita kembali ke topik utama, yaitu persamaan:

\mathbf{A'} = B'\mathbf{C'}

Persamaan ini dapat ditulis:

T\mathbf{A} = B'T\mathbf{C}

Sehingga dalam sistem koordinat xyz:

\mathbf{A} = T^{-1}B'T\mathbf{C}

Misalkan:

R = T^{-1} = \begin{bmatrix}  \cos \theta \cos \phi & -\sin \phi & \sin \theta \cos \phi\\  \cos \theta \sin \phi&  \cos \phi& \sin \theta \sin \phi\\  -\sin \theta  & 0 & \cos \theta  \end{bmatrix}

Maka kita dapat definisikan tensor B dalam sistem koordinat kartesian xyz sehingga A = BC:

B = RB'R^{-1}

di mana R merupakan matriks rotasi yang berkaitan.

Referensi:

[1]. https://www.siggraph.org/education/materials/HyperGraph/modeling/mod_tran/3drota.htm

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s